中考在即,几何最值问题解题之攻略大全

数歌 2019-11-07 13:54:34

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网上解题类文章很多,但读者看后往往只知其然,不知其所以然,更难知其何以所以然。本公众号解题文章力求探明知识与问题的内在本质与相互联系,并尽量借助图形使思维视觉化,以图照亮隐蔽的思维黑洞,使之明晰呈现于眼前,唤起学生的逻辑思考和直觉感悟。

追本溯源化繁为简

目有千万而纲为一,枝叶繁多而本为一。纲举则目张,执本而末从。如果只在细枝末节上下功夫,费了力气却讨不了好。学习就是不断地归一,最终以一心一理贯通万事万物,则达自由无碍之化境矣(呵呵,这境界有点高,慢慢来)。

关于几何最值问题研究的老师很多,本人以前也有文章论述,本文在此基础上再次进行归纳总结,把各种知识、方法、思想、策略进行融合提炼、追本溯源、认祖归宗,以使解决此类问题时更加简单明晰。

一、基本图形

所有问题的老祖宗只有两个:①[定点到定点]:两点之间,线段最短;②[定点到定线]:点线之间,垂线段最短。


由此派生:③[定点到定点]:三角形两边之和大于第三边;④[定线到定线]:平行线之间,垂线段最短;⑤[定点到定圆]:点圆之间,点心线截距最短(长);⑥[定线到定圆]:线圆之间,心垂线截距最短;⑦[定圆到定圆]:圆圆之间,连心线截距最短(长)。

余不赘述,下面仅举一例证明:[定点到定圆]:点圆之间,点心线截距最短(长)。

已知⊙O半径为r,AO=d,P是⊙O上一点,求AP的最大值和最小值。

证明:由“两点之间,线段最短”得AP≤AO+PO,AO≤AP+PO,得d-r≤AP≤d+r,AP最小时点P在B处,最大时点P在C处。即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。(可用“三角形两边之和大于第三边”,其实质也是由“两点之间,线段最短”推得)。

上面几种是解决相关问题的基本图形,所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。

二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式,如圆与线这些图形不是直接给出,而是以符合一定条件的动点的形式确定的;再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。类型分三种情况:(1)直接包含基本图形;(2)动点路径待确定;(3)动线(定点)位置需变换。

(一)直接包含基本图形。

例1.在⊙O中,圆的半径为6,∠B=30°,AC是⊙O的切线,则CD的最小值是         

简析:由∠B=30°知弧AD一定,所以D是定点,C是直线AC上的动点,即为求定点D到定线AC的最短路径,求得当CD⊥AC时最短为3。


(二)动点路径待确定。

例2.,如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,P是AB边上的动点(不与点B重合),将△BCP沿CP所在的直线翻折,得到△B′CP,连接B′A,则B′A长度的最小值是        

简析:A是定点,B'是动点,但题中未明确告知B'点的运动路径,所以需先确定B'点运动路径是什么图形,一般有直线与圆两类。此题中B'的路径是以C为圆心,BC为半径的圆弧,从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-B'C=1。


例3.在△ABC中,AB=AC=5,cos∠ABC=3/5,将△ABC绕点C顺时针旋转,得到△A'B'C,点E是BC上的中点,点F为线段AB上的动点,在△A'B'C绕点C顺时针旋转过程中,点F的对应点是F',求线段EF'长度的最大值与最小值的差。


简析:E是定点,F'是动点,要确定F'点的运动路径。先确定线段A'B'的运动轨迹是圆环,外圆半径为BC,内圆半径为AB边上的高,F'是A'B'上任意一点,因此F'的运动轨迹是圆环内的任意一点,由此转化为点E到圆环的最短和最长路径。

  

E到圆环的最短距离为EF2=CF2-CE=4.8-3=1.8,E到圆环的最长距离为EF1=EC+CF1=3+6=9,其差为7.2。


(三)动线(定点)位置需变换。

线段变换的方法:(1)等值变换:翻折、平移;(2)比例变换:三角、相似。


翻折变换类】典型问题:“将军饮马”。

例4.如图,∠AOB=30°,点M、N分别是射线OA、OB上的动点,OP平分∠AOB,且OP=6,当△PMN的周长最小值为     

简析:动线段(或定点)应居于动点轨迹的两侧,本题的三条动线段PM、MN、PN在OA、OB的内侧。所以本题的关键是把定线段变换到动点轨迹的两侧,从而把三条动线段PM、MN、PN转化为连接两点之间的路径。如图,把点P分别沿OA、OB翻折得P1、P2,△PMN的周长转化为P1M+MN+P2N,这三条线段的和正是连接两个定点P1、P2之间的路径,从而转化为求P1、P2两点之间最短路径,得△PMN的周长最小值为线段P1P2=OP=6。


例5.如图,在锐角△ABC中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是          

简析:本题的问题也在于动线段BM、MN居于动点轨迹AD的同侧,同样把点N沿AD翻折至AC上,BM+MN=BM+MN',转化为求点B到直线AC的最短路径,即BN'⊥AC时,最小值为2√2。


平移变换类】典型问题:“造桥选址”。

例6.如图,m、n是小河两岸,河宽20米,A、B是河旁两个村庄,要在河上造一座桥,要使A、B之间的路径最短应该如何选址(桥须与河岸垂直)?

简析:桥长为定值,可以想像把河岸m向下平移与n重合,同时把点A向下平移河宽,此时转化成n上的一点到A、B的路径之和最短,即转化为定点A'到定点B的最短路径。如下图:

思路是把动线AM平移至A'M,A'N+BN即转化为求定点A'与定点B之间的最路径。本题的关键是定长线段MN把动线段分隔,此时须通过平移把动线段A'N、BN变为连续路径,也可以把点B向上平移20米与点A连接。


例7.如图,CD是直线y=x上的一条定长的动线段,且CD=2,点A(4,0),连接AC、AD,设C点横坐标为m,求m为何值时,△ACD的周长最小,并求出这个最小值。

解析:两条动线段AC、AD居于动点所在直线的两侧,不符合基本图形中定形(点线圆)应在动点轨迹的两侧。首先把AC沿直线CD翻折至另一侧,如下图:

现在把周长转化为A'C+CD+AD,还需解决一个问题:动线段A'C与AD之间被定长线段CD阻断,动线段必须转化成连续的路径。同上题的道理,把A'C沿CD方向平移CD的长度即可,如下图。

现在已经转化为A''D+AD的最短路径问题,属定点到定点,当A''D与AD共线时A''D+AD最短,即为线段AA''的长。


三角变换类】典型问题:“胡不归”。

例8.如图,A地在公路BC旁的沙漠里,A到BC的距离AH=2√3,AB=2√19,在公路BC上行进的速度是在沙漠里行驶速度的2倍。某人在B地工作,A地家中父亲病危,他急着沿直线BA赶路,谁知最终没能见到父亲最后一面,其父离世之时思念儿子,连连问:“胡不归,胡不归……!”(怎么还不回来),这真是一个悲伤的故事,也是因为不懂数学而导致的。那么,从B至A怎样行进才能最快到达?

简析:BP段行驶速度是AP段的2倍,要求时间最短即求BP/2+AP最小,从而考虑BP/2如何转化,可以构造含30°角利用三角函数关系把BP/2转化为另一条线段。如下图,作∠CBD=30°,PQ⊥BD,得PQ=1/2BP,由“垂线段最短”知当A、P、Q共线时AP+PQ=AQ'最小。


【相似变换类】典型问题:“阿氏圆”。

“阿氏圆”:知平面上两点A、B,则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称阿氏圆,如下图所示,其中PO:BO=AO:PO=PA:PB=k。

例9.已知A(-4,-4)、B(0, 4)、C(0, -6)、 D(0, -1),AB与x轴交于点E,以点E为圆心,ED长为半径作圆,点M为⊙E上一动点,求 1/2AM+CM  的最小值。

简析:本题的主要问题在于如何转化1/2AM,注意到由条件知在M的运动过程中,EM:AE=1:2保持不变,从而想到构造相似三角形,使之与△AEM的相似比为1:2,这样便可实现1/2AM的转化,如下图取EN:EM=1:2,即可得△EMN∽△EAM,再得MN=1/2AM,显然,MN+CM的最小值就是定点N、C之间的最短路径。

之后便是常规方法先求N点坐标,再求CN的长。


解法大一统

万法归宗:路径成最短,折线到直线。

(所求路径在一般情况下是若干折线的组合,这些折线在同一直线上时即为最短路径)

基本图形:动点有轨迹,动线居两边。

(动点轨迹可以是线或圆,动线指动点与定点或定线、定圆的连线,动线与折线同指)

核心方法:同侧变异侧,分散化连续。

(动线在同侧进,要变为异侧,一般用翻折、三角、相似的方法构造;动折线被定长线段分散时需化为连续折线,一般用平移的方法构造,如造桥选址问题)

下图是构造完成的目标图形:

再举2例说明上述规律的运用方法:

1.如图,菱形ABCD中,∠A=60°,AB=3,⊙A、⊙B的半径为2和1,P、E、F分别是CD、⊙A、⊙B上的动点,则PE+PF的最小值为           。

思考方法如下图所示:

2.菱形ABCD中,∠BAC=60°,P是AC上的动点,求BP+1/2AP的最小值。

思考方法如下图所示:


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